<!doctype html>
<html>
<head>
<meta charset='UTF-8'><meta name='viewport' content='width=device-width initial-scale=1'>

<style type='text/css'>html {overflow-x: initial !important;}:root { --bg-color: #ffffff; --text-color: #333333; --select-text-bg-color: #B5D6FC; --select-text-font-color: auto; --monospace: "Lucida Console",Consolas,"Courier",monospace; --title-bar-height: 20px; }
.mac-os-11 { --title-bar-height: 28px; }
html { font-size: 14px; background-color: var(--bg-color); color: var(--text-color); font-family: "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, sans-serif; -webkit-font-smoothing: antialiased; }
h1, h2, h3, h4, h5 { white-space: pre-wrap; }
body { margin: 0px; padding: 0px; height: auto; inset: 0px; font-size: 1rem; line-height: 1.428571; overflow-x: hidden; background-image: inherit; background-size: inherit; background-attachment: inherit; background-origin: inherit; background-clip: inherit; background-color: inherit; tab-size: 4; background-position: inherit; background-repeat: inherit; }
iframe { margin: auto; }
a.url { word-break: break-all; }
a:active, a:hover { outline: 0px; }
.in-text-selection, ::selection { text-shadow: none; background: var(--select-text-bg-color); color: var(--select-text-font-color); }
#write { margin: 0px auto; height: auto; width: inherit; word-break: normal; overflow-wrap: break-word; position: relative; white-space: normal; overflow-x: visible; padding-top: 36px; }
#write.first-line-indent p { text-indent: 2em; }
#write.first-line-indent li p, #write.first-line-indent p * { text-indent: 0px; }
#write.first-line-indent li { margin-left: 2em; }
.for-image #write { padding-left: 8px; padding-right: 8px; }
body.typora-export { padding-left: 30px; padding-right: 30px; }
.typora-export .footnote-line, .typora-export li, .typora-export p { white-space: pre-wrap; }
.typora-export .task-list-item input { pointer-events: none; }
@media screen and (max-width: 500px) {
  body.typora-export { padding-left: 0px; padding-right: 0px; }
  #write { padding-left: 20px; padding-right: 20px; }
}
#write li > figure:last-child { margin-bottom: 0.5rem; }
#write ol, #write ul { position: relative; }
img { max-width: 100%; vertical-align: middle; image-orientation: from-image; }
button, input, select, textarea { color: inherit; font-family: inherit; font-size: inherit; font-style: inherit; font-variant-caps: inherit; font-weight: inherit; font-stretch: inherit; line-height: inherit; }
input[type="checkbox"], input[type="radio"] { line-height: normal; padding: 0px; }
*, ::after, ::before { box-sizing: border-box; }
#write h1, #write h2, #write h3, #write h4, #write h5, #write h6, #write p, #write pre { width: inherit; }
#write h1, #write h2, #write h3, #write h4, #write h5, #write h6, #write p { position: relative; }
p { line-height: inherit; }
h1, h2, h3, h4, h5, h6 { break-after: avoid-page; break-inside: avoid; orphans: 4; }
p { orphans: 4; }
h1 { font-size: 2rem; }
h2 { font-size: 1.8rem; }
h3 { font-size: 1.6rem; }
h4 { font-size: 1.4rem; }
h5 { font-size: 1.2rem; }
h6 { font-size: 1rem; }
.md-math-block, .md-rawblock, h1, h2, h3, h4, h5, h6, p { margin-top: 1rem; margin-bottom: 1rem; }
.hidden { display: none; }
.md-blockmeta { color: rgb(204, 204, 204); font-weight: 700; font-style: italic; }
a { cursor: pointer; }
sup.md-footnote { padding: 2px 4px; background-color: rgba(238, 238, 238, 0.7); color: rgb(85, 85, 85); border-radius: 4px; cursor: pointer; }
sup.md-footnote a, sup.md-footnote a:hover { color: inherit; text-transform: inherit; text-decoration: inherit; }
#write input[type="checkbox"] { cursor: pointer; width: inherit; height: inherit; }
figure { overflow-x: auto; margin: 1.2em 0px; max-width: calc(100% + 16px); padding: 0px; }
figure > table { margin: 0px; }
thead, tr { break-inside: avoid; break-after: auto; }
thead { display: table-header-group; }
table { border-collapse: collapse; border-spacing: 0px; width: 100%; overflow: auto; break-inside: auto; text-align: left; }
table.md-table td { min-width: 32px; }
.CodeMirror-gutters { border-right-width: 0px; background-color: inherit; }
.CodeMirror-linenumber { -webkit-user-select: none; }
.CodeMirror { text-align: left; }
.CodeMirror-placeholder { opacity: 0.3; }
.CodeMirror pre { padding: 0px 4px; }
.CodeMirror-lines { padding: 0px; }
div.hr:focus { cursor: none; }
#write pre { white-space: pre-wrap; }
#write.fences-no-line-wrapping pre { white-space: pre; }
#write pre.ty-contain-cm { white-space: normal; }
.CodeMirror-gutters { margin-right: 4px; }
.md-fences { font-size: 0.9rem; display: block; break-inside: avoid; text-align: left; overflow: visible; white-space: pre; background-image: inherit; background-size: inherit; background-attachment: inherit; background-origin: inherit; background-clip: inherit; background-color: inherit; position: relative !important; background-position: inherit; background-repeat: inherit; }
.md-fences-adv-panel { width: 100%; margin-top: 10px; text-align: center; padding-top: 0px; padding-bottom: 8px; overflow-x: auto; }
#write .md-fences.mock-cm { white-space: pre-wrap; }
.md-fences.md-fences-with-lineno { padding-left: 0px; }
#write.fences-no-line-wrapping .md-fences.mock-cm { white-space: pre; overflow-x: auto; }
.md-fences.mock-cm.md-fences-with-lineno { padding-left: 8px; }
.CodeMirror-line, twitterwidget { break-inside: avoid; }
svg { break-inside: avoid; }
.footnotes { opacity: 0.8; font-size: 0.9rem; margin-top: 1em; margin-bottom: 1em; }
.footnotes + .footnotes { margin-top: 0px; }
.md-reset { margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; outline: 0px; vertical-align: top; text-decoration: none; text-shadow: none; float: none; position: static; width: auto; height: auto; white-space: nowrap; cursor: inherit; line-height: normal; font-weight: 400; text-align: left; box-sizing: content-box; direction: ltr; background-position: 0px 0px; }
li div { padding-top: 0px; }
blockquote { margin: 1rem 0px; }
li .mathjax-block, li p { margin: 0.5rem 0px; }
li blockquote { margin: 1rem 0px; }
li { margin: 0px; position: relative; }
blockquote > :last-child { margin-bottom: 0px; }
blockquote > :first-child, li > :first-child { margin-top: 0px; }
.footnotes-area { color: rgb(136, 136, 136); margin-top: 0.714rem; padding-bottom: 0.143rem; white-space: normal; }
#write .footnote-line { white-space: pre-wrap; }
@media print {
  body, html { border: 1px solid transparent; height: 99%; break-after: avoid; break-before: avoid; font-variant-ligatures: no-common-ligatures; }
  #write { margin-top: 0px; border-color: transparent !important; padding-top: 0px !important; padding-bottom: 0px !important; }
  .typora-export * { print-color-adjust: exact; }
  .typora-export #write { break-after: avoid; }
  .typora-export #write::after { height: 0px; }
  .is-mac table { break-inside: avoid; }
  #write > p:nth-child(1) { margin-top: 0px; }
  .typora-export-show-outline .typora-export-sidebar { display: none; }
  figure { overflow-x: visible; }
}
.footnote-line { margin-top: 0.714em; font-size: 0.7em; }
a img, img a { cursor: pointer; }
pre.md-meta-block { font-size: 0.8rem; min-height: 0.8rem; white-space: pre-wrap; background-color: rgb(204, 204, 204); display: block; overflow-x: hidden; }
p > .md-image:only-child:not(.md-img-error) img, p > img:only-child { display: block; margin: auto; }
#write.first-line-indent p > .md-image:only-child:not(.md-img-error) img { left: -2em; position: relative; }
p > .md-image:only-child { display: inline-block; width: 100%; }
#write .MathJax_Display { margin: 0.8em 0px 0px; }
.md-math-block { width: 100%; }
.md-math-block:not(:empty)::after { display: none; }
.MathJax_ref { fill: currentcolor; }
[contenteditable="true"]:active, [contenteditable="true"]:focus, [contenteditable="false"]:active, [contenteditable="false"]:focus { outline: 0px; box-shadow: none; }
.md-task-list-item { position: relative; list-style-type: none; }
.task-list-item.md-task-list-item { padding-left: 0px; }
.md-task-list-item > input { position: absolute; top: 0px; left: 0px; margin-left: -1.2em; margin-top: calc(1em - 10px); border: none; }
.math { font-size: 1rem; }
.md-toc { min-height: 3.58rem; position: relative; font-size: 0.9rem; border-radius: 10px; }
.md-toc-content { position: relative; margin-left: 0px; }
.md-toc-content::after, .md-toc::after { display: none; }
.md-toc-item { display: block; color: rgb(65, 131, 196); }
.md-toc-item a { text-decoration: none; }
.md-toc-inner:hover { text-decoration: underline; }
.md-toc-inner { display: inline-block; cursor: pointer; }
.md-toc-h1 .md-toc-inner { margin-left: 0px; font-weight: 700; }
.md-toc-h2 .md-toc-inner { margin-left: 2em; }
.md-toc-h3 .md-toc-inner { margin-left: 4em; }
.md-toc-h4 .md-toc-inner { margin-left: 6em; }
.md-toc-h5 .md-toc-inner { margin-left: 8em; }
.md-toc-h6 .md-toc-inner { margin-left: 10em; }
@media screen and (max-width: 48em) {
  .md-toc-h3 .md-toc-inner { margin-left: 3.5em; }
  .md-toc-h4 .md-toc-inner { margin-left: 5em; }
  .md-toc-h5 .md-toc-inner { margin-left: 6.5em; }
  .md-toc-h6 .md-toc-inner { margin-left: 8em; }
}
a.md-toc-inner { font-size: inherit; font-style: inherit; font-weight: inherit; line-height: inherit; }
.footnote-line a:not(.reversefootnote) { color: inherit; }
.reversefootnote { font-family: ui-monospace, sans-serif; }
.md-attr { display: none; }
.md-fn-count::after { content: "."; }
code, pre, samp, tt { font-family: var(--monospace); }
kbd { margin: 0px 0.1em; padding: 0.1em 0.6em; font-size: 0.8em; color: rgb(36, 39, 41); background-color: rgb(255, 255, 255); border: 1px solid rgb(173, 179, 185); border-radius: 3px; box-shadow: rgba(12, 13, 14, 0.2) 0px 1px 0px, rgb(255, 255, 255) 0px 0px 0px 2px inset; white-space: nowrap; vertical-align: middle; }
.md-comment { color: rgb(162, 127, 3); opacity: 0.6; font-family: var(--monospace); }
code { text-align: left; }
a.md-print-anchor { white-space: pre !important; border: none !important; display: inline-block !important; position: absolute !important; width: 1px !important; right: 0px !important; outline: 0px !important; text-shadow: initial !important; background-position: 0px 0px !important; }
.os-windows.monocolor-emoji .md-emoji { font-family: "Segoe UI Symbol", sans-serif; }
.md-diagram-panel > svg { max-width: 100%; }
[lang="flow"] svg, [lang="mermaid"] svg { max-width: 100%; height: auto; }
[lang="mermaid"] .node text { font-size: 1rem; }
table tr th { border-bottom-width: 0px; }
video { max-width: 100%; display: block; margin: 0px auto; }
iframe { max-width: 100%; width: 100%; border: none; }
.highlight td, .highlight tr { border: 0px; }
mark { background-color: rgb(255, 255, 0); color: rgb(0, 0, 0); }
.md-html-inline .md-plain, .md-html-inline strong, mark .md-inline-math, mark strong { color: inherit; }
.md-expand mark .md-meta { opacity: 0.3 !important; }
mark .md-meta { color: rgb(0, 0, 0); }
@media print {
  .typora-export h1, .typora-export h2, .typora-export h3, .typora-export h4, .typora-export h5, .typora-export h6 { break-inside: avoid; }
}
.md-diagram-panel .messageText { stroke: none !important; }
.md-diagram-panel .start-state { fill: var(--node-fill); }
.md-diagram-panel .edgeLabel rect { opacity: 1 !important; }
.md-fences.md-fences-math { font-size: 1em; }
.md-fences-advanced:not(.md-focus) { padding: 0px; white-space: nowrap; border: 0px; }
.md-fences-advanced:not(.md-focus) { background-image: inherit; background-size: inherit; background-attachment: inherit; background-origin: inherit; background-clip: inherit; background-color: inherit; background-position: inherit; background-repeat: inherit; }
.typora-export-show-outline .typora-export-content { max-width: 1440px; margin: auto; display: flex; flex-direction: row; }
.typora-export-sidebar { width: 300px; font-size: 0.8rem; margin-top: 80px; margin-right: 18px; }
.typora-export-show-outline #write { --webkit-flex: 2; flex: 2 1 0%; }
.typora-export-sidebar .outline-content { position: fixed; top: 0px; max-height: 100%; overflow: hidden auto; padding-bottom: 30px; padding-top: 60px; width: 300px; }
@media screen and (max-width: 1024px) {
  .typora-export-sidebar, .typora-export-sidebar .outline-content { width: 240px; }
}
@media screen and (max-width: 800px) {
  .typora-export-sidebar { display: none; }
}
.outline-content li, .outline-content ul { margin-left: 0px; margin-right: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; list-style: none; overflow-wrap: anywhere; }
.outline-content ul { margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; }
.outline-content strong { font-weight: 400; }
.outline-expander { width: 1rem; height: 1.428571rem; position: relative; display: table-cell; vertical-align: middle; cursor: pointer; padding-left: 4px; }
.outline-expander::before { content: ""; position: relative; font-family: Ionicons; display: inline-block; font-size: 8px; vertical-align: middle; }
.outline-item { padding-top: 3px; padding-bottom: 3px; cursor: pointer; }
.outline-expander:hover::before { content: ""; }
.outline-h1 > .outline-item { padding-left: 0px; }
.outline-h2 > .outline-item { padding-left: 1em; }
.outline-h3 > .outline-item { padding-left: 2em; }
.outline-h4 > .outline-item { padding-left: 3em; }
.outline-h5 > .outline-item { padding-left: 4em; }
.outline-h6 > .outline-item { padding-left: 5em; }
.outline-label { cursor: pointer; display: table-cell; vertical-align: middle; text-decoration: none; color: inherit; }
.outline-label:hover { text-decoration: underline; }
.outline-item:hover { border-color: rgb(245, 245, 245); background-color: var(--item-hover-bg-color); }
.outline-item:hover { margin-left: -28px; margin-right: -28px; border-left-width: 28px; border-left-style: solid; border-left-color: transparent; border-right-width: 28px; border-right-style: solid; border-right-color: transparent; }
.outline-item-single .outline-expander::before, .outline-item-single .outline-expander:hover::before { display: none; }
.outline-item-open > .outline-item > .outline-expander::before { content: ""; }
.outline-children { display: none; }
.info-panel-tab-wrapper { display: none; }
.outline-item-open > .outline-children { display: block; }
.typora-export .outline-item { padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; }
.typora-export .outline-item:hover { margin-right: -8px; border-right-width: 8px; border-right-style: solid; border-right-color: transparent; }
.typora-export .outline-expander::before { content: "+"; font-family: inherit; top: -1px; }
.typora-export .outline-expander:hover::before, .typora-export .outline-item-open > .outline-item > .outline-expander::before { content: "−"; }
.typora-export-collapse-outline .outline-children { display: none; }
.typora-export-collapse-outline .outline-item-open > .outline-children, .typora-export-no-collapse-outline .outline-children { display: block; }
.typora-export-no-collapse-outline .outline-expander::before { content: "" !important; }
.typora-export-show-outline .outline-item-active > .outline-item .outline-label { font-weight: 700; }
.md-inline-math-container mjx-container { zoom: 0.95; }
mjx-container { break-inside: avoid; }


html {
	font-size: 19px;
}

html, body {
	margin: auto;
	background: #fefefe;
	-webkit-font-smoothing: antialiased;
}
body {
	font-family: "Vollkorn", Palatino, Times;
	color: #333;
	line-height: 1.4;
	text-align: justify;
}

#write {
	max-width: 960px;
	margin: 0 auto;
	margin-bottom: 2em;
	line-height: 1.53;
	padding-top: 40px;
}

@media only screen and (min-width: 1400px) {
	#write {
		max-width: 1100px;
	}
}

@media print {
	html {
		font-size: 13px;
	}
}

/* Typography
-------------------------------------------------------- */

#write>h1:first-child,
h1 {
	margin-top: 1.6em;
	font-weight: normal;
}

h1 {
	font-size:3em;
}

h2 {
	margin-top:2em;
	font-weight: normal;
}

h3 {
	font-weight: normal;
	font-style: italic;
	margin-top: 3em;
}

h1, 
h2, 
h3{
	text-align: center;
}

h2:after{
	border-bottom: 1px solid #2f2f2f;
    content: '';
    width: 100px;
    display: block;
    margin: 0 auto;
    height: 1px;
}

h1+h2, h2+h3 {
	margin-top: 0.83em;
}

p,
.mathjax-block {
	margin-top: 0;
	-webkit-hypens: auto;
	-moz-hypens: auto;
	hyphens: auto;
}
ul {
	list-style: square;
	padding-left: 1.2em;
}
ol {
	padding-left: 1.2em;
}
blockquote {
	margin-left: 1em;
	padding-left: 1em;
	border-left: 1px solid #ddd;
}
code,
pre {
	font-family: "Consolas", "Menlo", "Monaco", monospace, serif;
	font-size: .9em;
	background: white;
}
.md-fences{
	margin-left: 1em;
	padding-left: 1em;
	border: 1px solid #ddd;
	padding-bottom: 8px;
	padding-top: 6px;
	margin-bottom: 1.5em;
}

a {
	color: #2484c1;
	text-decoration: none;
}
a:hover {
	text-decoration: underline;
}
a img {
	border: none;
}
h1 a,
h1 a:hover {
	color: #333;
	text-decoration: none;
}
hr {
	color: #ddd;
	height: 1px;
	margin: 2em 0;
	border-top: solid 1px #ddd;
	border-bottom: none;
	border-left: 0;
	border-right: 0;
}
.ty-table-edit {
	background: #ededed;
    padding-top: 4px;
}
table {
	margin-bottom: 1.333333rem
}
table th,
table td {
	padding: 8px;
	line-height: 1.333333rem;
	vertical-align: top;
	border-top: 1px solid #ddd
}
table th {
	font-weight: bold
}
table thead th {
	vertical-align: bottom
}
table caption+thead tr:first-child th,
table caption+thead tr:first-child td,
table colgroup+thead tr:first-child th,
table colgroup+thead tr:first-child td,
table thead:first-child tr:first-child th,
table thead:first-child tr:first-child td {
	border-top: 0
}
table tbody+tbody {
	border-top: 2px solid #ddd
}

.task-list{
	padding:0;
}

.md-task-list-item {
	padding-left: 1.6rem;
}

.md-task-list-item > input:before {
	content: '\221A';
	display: inline-block;
	width: 1.33333333rem;
  	height: 1.6rem;
	vertical-align: middle;
	text-align: center;
	color: #ddd;
	background-color: #fefefe;
}

.md-task-list-item > input:checked:before,
.md-task-list-item > input[checked]:before{
	color: inherit;
}
.md-tag {
	color: inherit;
	font: inherit;
}
#write pre.md-meta-block {
	min-height: 35px;
	padding: 0.5em 1em;
}
#write pre.md-meta-block {
	white-space: pre;
	background: #f8f8f8;
	border: 0px;
	color: #999;
	
	width: 100vw;
	max-width: calc(100% + 60px);
	margin-left: -30px;
	border-left: 30px #f8f8f8 solid;
	border-right: 30px #f8f8f8 solid;

	margin-bottom: 2em;
	margin-top: -1.3333333333333rem;
	padding-top: 26px;
	padding-bottom: 10px;
	line-height: 1.8em;
	font-size: 0.9em;
	font-size: 0.76em;
	padding-left: 0;
}
.md-img-error.md-image>.md-meta{
	vertical-align: bottom;
}
#write>h5.md-focus:before {
	top: 2px;
}

.md-toc {
	margin-top: 40px;
}

.md-toc-content {
	padding-bottom: 20px;
}

.outline-expander:before {
	color: inherit;
	font-size: 14px;
	top: auto;
	content: "\f0da";
	font-family: FontAwesome;
}

.outline-expander:hover:before,
.outline-item-open>.outline-item>.outline-expander:before {
  	content: "\f0d7";
}

/** source code mode */
#typora-source {
	font-family: Courier, monospace;
    color: #6A6A6A;
}

.html-for-mac #typora-sidebar {
    -webkit-box-shadow: 0 6px 12px rgba(0, 0, 0, .175);
    box-shadow: 0 6px 12px rgba(0, 0, 0, .175);
}

.cm-s-typora-default .cm-header, 
.cm-s-typora-default .cm-property,
.CodeMirror.cm-s-typora-default div.CodeMirror-cursor {
	color: #428bca;
}

.cm-s-typora-default .cm-atom, .cm-s-typora-default .cm-number {
	color: #777777;
}

.typora-node .file-list-item-parent-loc, 
.typora-node .file-list-item-time, 
.typora-node .file-list-item-summary {
	font-family: arial, sans-serif;
}

.md-task-list-item>input {
    margin-left: -1.3em;
    margin-top: calc(1rem - 12px);
}

.md-mathjax-midline {
	background: #fafafa;
}

.md-fences .code-tooltip {
	bottom: -2em !important;
}

.dropdown-menu .divider {
	border-color: #e5e5e5;
}


mjx-container[jax="SVG"] {
  direction: ltr;
}

mjx-container[jax="SVG"] > svg {
  overflow: visible;
  min-height: 1px;
  min-width: 1px;
}

mjx-container[jax="SVG"] > svg a {
  fill: blue;
  stroke: blue;
}

mjx-assistive-mml {
  position: absolute !important;
  top: 0px;
  left: 0px;
  clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);
  padding: 1px 0px 0px 0px !important;
  border: 0px !important;
  display: block !important;
  width: auto !important;
  overflow: hidden !important;
  -webkit-touch-callout: none;
  -webkit-user-select: none;
  -khtml-user-select: none;
  -moz-user-select: none;
  -ms-user-select: none;
  user-select: none;
}

mjx-assistive-mml[display="block"] {
  width: 100% !important;
}

mjx-container[jax="SVG"][display="true"] {
  display: block;
  text-align: center;
  margin: 1em 0;
}

mjx-container[jax="SVG"][display="true"][width="full"] {
  display: flex;
}

mjx-container[jax="SVG"][justify="left"] {
  text-align: left;
}

mjx-container[jax="SVG"][justify="right"] {
  text-align: right;
}

g[data-mml-node="merror"] > g {
  fill: red;
  stroke: red;
}

g[data-mml-node="merror"] > rect[data-background] {
  fill: yellow;
  stroke: none;
}

g[data-mml-node="mtable"] > line[data-line], svg[data-table] > g > line[data-line] {
  stroke-width: 70px;
  fill: none;
}

g[data-mml-node="mtable"] > rect[data-frame], svg[data-table] > g > rect[data-frame] {
  stroke-width: 70px;
  fill: none;
}

g[data-mml-node="mtable"] > .mjx-dashed, svg[data-table] > g > .mjx-dashed {
  stroke-dasharray: 140;
}

g[data-mml-node="mtable"] > .mjx-dotted, svg[data-table] > g > .mjx-dotted {
  stroke-linecap: round;
  stroke-dasharray: 0,140;
}

g[data-mml-node="mtable"] > g > svg {
  overflow: visible;
}

[jax="SVG"] mjx-tool {
  display: inline-block;
  position: relative;
  width: 0;
  height: 0;
}

[jax="SVG"] mjx-tool > mjx-tip {
  position: absolute;
  top: 0;
  left: 0;
}

mjx-tool > mjx-tip {
  display: inline-block;
  padding: .2em;
  border: 1px solid #888;
  font-size: 70%;
  background-color: #F8F8F8;
  color: black;
  box-shadow: 2px 2px 5px #AAAAAA;
}

g[data-mml-node="maction"][data-toggle] {
  cursor: pointer;
}

mjx-status {
  display: block;
  position: fixed;
  left: 1em;
  bottom: 1em;
  min-width: 25%;
  padding: .2em .4em;
  border: 1px solid #888;
  font-size: 90%;
  background-color: #F8F8F8;
  color: black;
}

foreignObject[data-mjx-xml] {
  font-family: initial;
  line-height: normal;
  overflow: visible;
}

mjx-container[jax="SVG2"] path[data-c], mjx-container[jax="SVG2"] use[data-c] {
  stroke-width: 3;
}

g[data-mml-node="xypic"] path {
  stroke-width: inherit;
}

.MathJax g[data-mml-node="xypic"] path {
  stroke-width: inherit;
}
mjx-container[jax="SVG"] path[data-c], mjx-container[jax="SVG"] use[data-c] {
							stroke-width: 0;
						} @media print { @page {margin: 0 0 0 0;} body.typora-export {padding-left: 0; padding-right: 0;} #write {padding:0;}}
</style><title>technical_report</title>
</head>
<body class='typora-export typora-export-show-outline typora-export-collapse-outline'><div class='typora-export-content'>
<div class="typora-export-sidebar"><div class="outline-content"><li class="outline-item-wrapper outline-h1 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#基于知识图谱与图神经网络的菜品推荐方案">基于知识图谱与图神经网络的菜品推荐方案</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h1 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#摘要">摘要</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h1"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#正文">正文</a></div><ul class="outline-children"><li class="outline-item-wrapper outline-h2 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#背景">背景</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h2 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#任务来源和要求">任务来源和要求</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h2"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#研究方案和内容">研究方案和内容</a></div><ul class="outline-children"><li class="outline-item-wrapper outline-h3 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#召回阶段">召回阶段</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h3 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#排序阶段">排序阶段</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h3 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#融合阶段">融合阶段</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h3 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#过滤补充层">过滤补充层</a></div><ul class="outline-children"></ul></li></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h2 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#试验结果">试验结果</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h2 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#技术关键点">技术关键点</a></div><ul class="outline-children"></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h2 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#存在问题及改进方向">存在问题及改进方向</a></div><ul class="outline-children"></ul></li></ul></li><li class="outline-item-wrapper outline-h1 outline-item-single"><div class="outline-item"><span class="outline-expander"></span><a class="outline-label" href="#参考">参考</a></div><ul class="outline-children"></ul></li></div></div><div id='write'  class=''><h1 id='基于知识图谱与图神经网络的菜品推荐方案'><span>基于知识图谱与图神经网络的菜品推荐方案</span></h1><p><span>杨凯伦，张兴浩，王飞龙</span></p><p><span>导师：宫继兵</span></p><p><span>燕山大学 信息科学与工程学院</span></p><p><a href='mailto:yangkailunysu@163.com' target='_blank' class='url'>yangkailunysu@163.com</a></p><h1 id='摘要'><span>摘要</span></h1><p><span>基于美团菜品数据搭建知识图谱，通过图神经网络的信息聚合能力学习用户与菜品的相似度从而实现用户个性化的召回。继而采用FFM与CatBoost模型利用用户购买菜品的上下文信息对推荐列表进行精排。最后集成三种模型的结果通过一个过滤补充层，过滤掉明显不符合要求的菜品，补充符合要求的菜品实现最终的Top-5推荐。通过调整流程中各种参数最终在测试集上的效果逐步提高。</span></p><h1 id='正文'><span>正文</span></h1><h2 id='背景'><span>背景</span></h2><p><span>互联网的出现和普及在满足用户需求的同时带来了极大便利，与此同时，海量的商品及信息也给注意力有限的用户带来困扰。解决这类信息超载问题的一种有效方法是推荐技术，它可以根据用户的需求，兴趣，为用户推荐其可能感兴趣的商品或信息，已经成为学术界和工业界最为关注的研究问题之一。</span></p><p><span>美团外卖作为国内主要的网上订餐平台之一，面对海量用户，如何在特定的时间地点下精准推荐感兴趣、合胃口的商家或菜品，方便用户解决用餐需求，提高用户用餐满意度，是一个值得长期探索的重要问题。相较于普通的电商推荐，外卖推荐具有用户属性多维，用户决策时间短，用户兴趣具有周期性等特点，这也给外卖推荐技术研究带来了更多挑战。</span></p><p><span>我们团队注意到菜品，菜品商家之间存在自然的链接关系可以构成知识图谱，现在学术界对于图神经网络（GNN）的应用在推荐的研究也取得了许多进展。所以我们考虑利用图神经网络作为主模型实现用户的个性化菜品召回。同时我们注意到用户购买菜品时包含丰富的上下文信息，例如时间，价格，地点等。我们采用FFM和CatBoost融合这些上下文信息对召回的推荐列表进行了调整。</span></p><h2 id='任务来源和要求'><span>任务来源和要求</span></h2><p><span>本次比赛使用美团外卖App用户订单行为构造数据集。数据集中包括了时间跨度为四周的1240419个订单行为，涉及200000个用户，29924个商家，195244件菜品，订单关联菜品数据共3915394条，构成外卖知识图谱。参赛选手需要根据前三周的实体及属性，关系，为最后一周的用户订单预测并推荐其可能感兴趣的商家或菜品。</span></p><p><span>提交的预测结果会和真实订单结果比较，并根据HR</span><a href='https://github.com/5'><span>@5</span></a><span>(hit rate </span><a href='https://github.com/Top'><span>@Top</span></a><span> 5)评分。HR</span><a href='https://github.com/N'><span>@N</span></a><span>是目前Top-N推荐研究中十分流行的评价指标，计算方式为：</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n16" cid="n16" mdtype="math_block" data-math-tag-before="0" data-math-tag-after="1" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 24.517ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.09ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.98ex; min-width: 24.517ex;"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-23" d="M56 347Q56 360 70 367H313L355 524Q394 676 401 686Q406 694 416 694Q434 694 436 676Q436 672 396 522Q355 374 355 369L354 367H543L585 524Q626 679 630 685Q636 694 646 694Q653 694 659 689T665 678Q665 668 626 522Q585 374 585 369L584 367H762Q777 359 777 347Q777 334 767 331T722 327H667H572L552 251L531 174Q531 173 647 173H720Q756 173 766 170T777 153T762 133H519L477 -24Q436 -179 432 -185Q426 -194 416 -194Q409 -194 403 -189T397 -177Q397 -167 436 -21Q477 125 477 131L478 133H289L247 -24Q206 -179 202 -185Q196 -194 186 -194Q179 -194 173 -189T167 -177Q167 -167 206 -21Q247 125 247 131L248 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H260L280 249L301 326Q301 327 186 327H72Q56 332 56 347ZM531 326Q531 327 437 327H342L322 251L301 174Q301 173 395 173H490L510 249L531 326Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -1375)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1375) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="3340.3 -1375 1 2250"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D43B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(888,0)"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D445"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1924.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2980.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(558,676)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="23" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-23"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-210E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1409,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1754,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2115,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D460"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="23" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-23"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1405,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1874,0)"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2340,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2791,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D460"></use></g></g><rect width="3460" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1375 1 2250"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:1" transform="translate(0,755)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-28"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-31" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(1)</mtext></mtd><mtd><mi>H</mi><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">#</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mi>t</mi><mi>s</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">#</mi><mi>u</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>s</mi></mrow></mfrac></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>其中#users是用户总数，而#hits是测试集中的item出现在Top-N推荐列表中的用户数量，本次竞赛取N=5。</span></p><h2 id='研究方案和内容'><span>研究方案和内容</span></h2><p><img src="./picture/SMP-spu.png" referrerpolicy="no-referrer" alt="整体流程图"></p><p><span>我们团队的整体推荐流程如上图所示。总体可分为三大阶段和一个策略调整层。</span></p><h3 id='召回阶段'><span>召回阶段</span></h3><p><span>首先第一个阶段是召回层。由于总的菜品数量有接近20万。我们考虑到直接对20万的菜品进行个性化排序，一方面由于我们的主模型采用的是相对复杂的图神经网络模型，时间开销较大，调整参数不方便。另一方面，考虑所有的菜品排序需要更多精细的特征处理，特征工程相对耗时，也不方便快速搭建流程。综合上面的因素，我们通过简单的统计所有菜品中被购买的次数。分别召回最流行的2w，5w的菜品作为后续的模型排序和补充推荐的候选集。</span></p><h3 id='排序阶段'><span>排序阶段</span></h3><p><span>其次第二阶段是排序阶段。我们采用了图神经网络的推荐模型作为主模型。对于知识图谱的构建，我们注意到菜品所属的商家是一种自然链接的知识图谱关系。我们进一步发现一个用户可能多次同时购买两种菜品。于是我们统计了所有用户的购买记录，形成一个两种菜品共同购买的次数的矩阵。然后我们考虑到如果两种菜品多次同时被购买，那么它们之间就存在很强的相关性。我们就创建一种关系表示这种共同的购买。我们这里设置了一个阈值是25。最后我们把上面两种知识图谱与用户购买菜品的二部图统一成一个图输入图神经网络中。</span></p><p><span>我们实现的图神经网络参考了最新的图神经网络在推荐上的应用论文KGIN</span><a href='#refer-anchor-1'><sup><span>1</span></sup></a><span>模型。但是我们考虑到模型的复杂性导致参数调整的困难，去掉了原始论文中对于意图的建模。建模流程如下：</span></p><p><span>首先对于所有的用户，菜品和知识图谱中的关系初始化表示向量</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.202ex" height="1.462ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -452 3625.1 646" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.439ex;"><defs><path id="MJX-20-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-20-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(854,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1298.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-20-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2227.5,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2672.2,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-20-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>v</mi></mrow></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">\mathbf{e}_{i},\mathbf{e}_{r},\mathbf{e}_{v}</script><span>，其中</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.674ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 298 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.025ex;"><defs><path id="MJX-26-TEX-I-1D459" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D459"></use></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">l</script><span>代表GNN卷积的层数，</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.595ex" height="2.142ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789 1147 946.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.357ex;"><defs><path id="MJX-22-TEX-C-4E" d="M343 705Q358 705 358 698Q360 696 370 658T411 524T484 319Q536 174 590 82L595 73L615 152Q646 274 683 407Q729 571 752 637T799 727Q852 780 937 788Q939 788 947 788T958 789H962Q979 789 979 765Q979 722 951 692Q942 683 924 683Q888 681 859 672T818 654T803 639Q784 608 708 322T631 15Q631 14 630 15Q630 17 629 15Q628 14 628 12Q621 -4 601 -17T560 -31Q550 -31 546 -28T530 -7Q484 67 458 123T398 272Q352 392 314 514L306 535V534Q306 533 296 488T272 379T234 239T185 100T127 -7T61 -50Q34 -50 4 -34T-27 8Q-27 33 -12 61T18 90Q21 90 36 77T87 57H92Q109 57 123 78T162 173Q206 299 232 417T265 599T276 667Q284 681 304 693T343 705Z"></path><path id="MJX-22-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-22-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">\mathcal{N}_{i}</script><span>代表菜品</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.025ex;"><defs><path id="MJX-23-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-23-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>i</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">i</script><span>的邻居关系和实体集合。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n27" cid="n27" mdtype="math_block" data-math-tag-before="1" data-math-tag-after="2" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 37.226ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.321ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.595ex; min-width: 37.226ex;"><defs><path id="MJX-2-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D459" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-2-TEX-C-4E" d="M343 705Q358 705 358 698Q360 696 370 658T411 524T484 319Q536 174 590 82L595 73L615 152Q646 274 683 407Q729 571 752 637T799 727Q852 780 937 788Q939 788 947 788T958 789H962Q979 789 979 765Q979 722 951 692Q942 683 924 683Q888 681 859 672T818 654T803 639Q784 608 708 322T631 15Q631 14 630 15Q630 17 629 15Q628 14 628 12Q621 -4 601 -17T560 -31Q550 -31 546 -28T530 -7Q484 67 458 123T398 272Q352 392 314 514L306 535V534Q306 533 296 488T272 379T234 239T185 100T127 -7T61 -50Q34 -50 4 -34T-27 8Q-27 33 -12 61T18 90Q21 90 36 77T87 57H92Q109 57 123 78T162 173Q206 299 232 417T265 599T276 667Q284 681 304 693T343 705Z"></path><path id="MJX-2-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2299" d="M56 250Q56 394 156 488T384 583Q530 583 626 485T722 250Q722 110 625 14T390 -83Q249 -83 153 14T56 250ZM682 250Q682 322 649 387T546 497T381 542Q272 542 184 459T95 250Q95 132 178 45T389 -42Q515 -42 598 45T682 250ZM311 250Q311 285 332 304T375 328Q376 328 382 328T392 329Q424 326 445 305T466 250Q466 217 445 195T389 172Q354 172 333 195T311 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -1646.8)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1646.8) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6148.9 -1646.8 1 2793.7"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,304.8)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-2-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D459"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(687,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-293.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1648.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2704.4,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(821.5,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-749)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-2-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-7C"></use></g></g><rect width="1903" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="munder" transform="translate(5014,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(623.6,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-2-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-1174.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(840,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1118,0)"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1603,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1992,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2659,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-2-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(7871.9,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-2-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9023,0)"><use data-c="2299" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2299"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(10023.3,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-2-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D459"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(687,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1465,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1965,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-139.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D463"></use></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1646.8 1 2793.7"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:2" transform="translate(0,1054.8)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-32" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(2)</mtext></mtd><mtd><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow></mfrac><munder><mo data-mjx-texclass="OP">∑</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>∈</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></munder><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>r</mi></mrow></msub><mo>⊙</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>v</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>通过上面的公式2，我们得到菜品经过一层信息聚合的向量表示。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n29" cid="n29" mdtype="math_block" data-math-tag-before="2" data-math-tag-after="3" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 30.344ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="6.173ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.521ex; min-width: 30.344ex;"><defs><path id="MJX-3-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3-TEX-I-1D459" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-3-TEX-C-4E" d="M343 705Q358 705 358 698Q360 696 370 658T411 524T484 319Q536 174 590 82L595 73L615 152Q646 274 683 407Q729 571 752 637T799 727Q852 780 937 788Q939 788 947 788T958 789H962Q979 789 979 765Q979 722 951 692Q942 683 924 683Q888 681 859 672T818 654T803 639Q784 608 708 322T631 15Q631 14 630 15Q630 17 629 15Q628 14 628 12Q621 -4 601 -17T560 -31Q550 -31 546 -28T530 -7Q484 67 458 123T398 272Q352 392 314 514L306 535V534Q306 533 296 488T272 379T234 239T185 100T127 -7T61 -50Q34 -50 4 -34T-27 8Q-27 33 -12 61T18 90Q21 90 36 77T87 57H92Q109 57 123 78T162 173Q206 299 232 417T265 599T276 667Q284 681 304 693T343 705Z"></path><path id="MJX-3-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-3-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -1614.2)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1614.2) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4627.9 -1614.2 1 2728.5"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,272.2)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-3-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D459"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(687,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-138.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1648.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2704.4,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(901.7,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-749)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(278,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-3-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1585.5,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-7C"></use></g></g><rect width="2063.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="munder" transform="translate(5174.5,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(98.1,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-3-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-1174.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(345,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1012,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-3-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(6981.3,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-3-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D459"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(687,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1465,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1965,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-293.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1614.2 1 2728.5"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:3" transform="translate(0,1022.2)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-28"></use><use data-c="33" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-33" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(3)</mtext></mtd><mtd><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow></mfrac><munder><mo data-mjx-texclass="OP">∑</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>∈</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow></msub></mrow></munder><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>公式3中的</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.958ex" height="2.142ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -789 1307.5 946.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.357ex;"><defs><path id="MJX-24-TEX-C-4E" d="M343 705Q358 705 358 698Q360 696 370 658T411 524T484 319Q536 174 590 82L595 73L615 152Q646 274 683 407Q729 571 752 637T799 727Q852 780 937 788Q939 788 947 788T958 789H962Q979 789 979 765Q979 722 951 692Q942 683 924 683Q888 681 859 672T818 654T803 639Q784 608 708 322T631 15Q631 14 630 15Q630 17 629 15Q628 14 628 12Q621 -4 601 -17T560 -31Q550 -31 546 -28T530 -7Q484 67 458 123T398 272Q352 392 314 514L306 535V534Q306 533 296 488T272 379T234 239T185 100T127 -7T61 -50Q34 -50 4 -34T-27 8Q-27 33 -12 61T18 90Q21 90 36 77T87 57H92Q109 57 123 78T162 173Q206 299 232 417T265 599T276 667Q284 681 304 693T343 705Z"></path><path id="MJX-24-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4E" xlink:href="#MJX-24-TEX-C-4E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(853,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-24-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">N</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">\mathcal{N}_{u}</script><span>代表用户</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.025ex;"><defs><path id="MJX-25-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D462"></use></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">u</script><span>的邻居菜品集合，通过公式3我们得到</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.674ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 298 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.025ex;"><defs><path id="MJX-26-TEX-I-1D459" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D459" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D459"></use></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>l</mi></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">l</script><span>层的用户向量表示。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n31" cid="n31" mdtype="math_block" data-math-tag-before="3" data-math-tag-after="4" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 53.824ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="3.082ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.975ex; min-width: 53.824ex;"><defs><path id="MJX-4-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -931.1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 931.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="9817.1 -931.1 1 1362.3"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-129.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1292.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(2348,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-138.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4083.9,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5084.1,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6478.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(7478.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1070,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-138.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9120.3,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(9398.3,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(10564.9,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11806.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(12862,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-293.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14597.9,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15598.2,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16992.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(17992.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-4-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,530.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1070,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-293.8) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -931.1 1 1362.3"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:4" transform="translate(0,620.4)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-28"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-34" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(4)</mtext></mtd><mtd><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>通过公式4，我们将多层卷积得到的用户和菜品向量加和，得到最终的用户向量表示</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.481ex" height="2.17ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -691.8 2422.7 959.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.605ex;"><defs><path id="MJX-27-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-27-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-27-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msubsup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-27-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1014.5,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(1459.1,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-27-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-259.6) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo></mrow></msubsup></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">\mathbf{e}_{u}^{*},\mathbf{e}_{i}^{*}</script><span>。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n33" cid="n33" mdtype="math_block" data-math-tag-before="4" data-math-tag-after="5" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 20.788ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.579ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.724ex; min-width: 20.788ex;"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path><path id="MJX-5-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5-TEX-B-1D41E" d="M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 346 348 374T280 402Q253 402 230 390T195 357Q179 331 176 279V266H383V276Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-22A4" d="M55 642T55 648T59 659T66 666T71 668H708Q723 660 723 648T708 628H409V15Q402 2 391 0Q387 0 384 1T379 3T375 6T373 9T371 13T369 16V628H71Q70 628 67 630T59 637Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -820.1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 820.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2516.1 -820.1 1 1140.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-65.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,16) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-5E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1499.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(2555,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-5-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-2217"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="22A4" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-22A4"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D462"></use></g></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(4068.7,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D41E" xlink:href="#MJX-5-TEX-B-1D41E"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-2217"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(560,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -820.1 1 1140.1"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:5" transform="translate(0,684.7)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-28"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-35" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-5-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(5)</mtext></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo><mi mathvariant="normal">⊤</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>∗</mo></mrow></msubsup></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>通过公式5，我们得到用户对菜品的评分</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.763ex" height="2.296ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -810 1221.4 1015" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.464ex;"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-28-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path><path id="MJX-28-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-28-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,16) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-28-TEX-N-5E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-28-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi><mi>i</mi></mrow></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">\hat{y}_{u i}</script><span>。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n35" cid="n35" mdtype="math_block" data-math-tag-before="5" data-math-tag-after="6" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 41.035ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="5.371ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.12ex; min-width: 41.035ex;"><defs><path id="MJX-6-TEX-C-4C" d="M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 102Q281 102 369 79T509 52H523Q535 64 544 87T579 128Q616 152 641 152Q656 152 656 142Q656 101 588 40T433 -22Q381 -22 289 1T156 28L141 29L131 20Q111 0 87 -11Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-42" d="M131 622Q124 629 120 631T104 634T61 637H28V683H229H267H346Q423 683 459 678T531 651Q574 627 599 590T624 512Q624 461 583 419T476 360L466 357Q539 348 595 302T651 187Q651 119 600 67T469 3Q456 1 242 0H28V46H61Q103 47 112 49T131 61V622ZM511 513Q511 560 485 594T416 636Q415 636 403 636T371 636T333 637Q266 637 251 636T232 628Q229 624 229 499V374H312L396 375L406 377Q410 378 417 380T442 393T474 417T499 456T511 513ZM537 188Q537 239 509 282T430 336L329 337H229V200V116Q229 57 234 52Q240 47 334 47H383Q425 47 443 53Q486 67 511 104T537 188Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-50" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H214Q237 683 276 683T331 684Q419 684 471 671T567 616Q624 563 624 489Q624 421 573 372T451 307Q429 302 328 301H234V181Q234 62 237 58Q245 47 304 46H337V0H326Q305 3 182 3Q47 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM507 488Q507 514 506 528T500 564T483 597T450 620T397 635Q385 637 307 637H286Q237 637 234 628Q231 624 231 483V342H302H339Q390 342 423 349T481 382Q507 411 507 488Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 360 434 378T489 456Q491 467 491 499Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D457" d="M297 596Q297 627 318 644T361 661Q378 661 389 651T403 623Q403 595 384 576T340 557Q322 557 310 567T297 596ZM288 376Q288 405 262 405Q240 405 220 393T185 362T161 325T144 293L137 279Q135 278 121 278H107Q101 284 101 286T105 299Q126 348 164 391T252 441Q253 441 260 441T272 442Q296 441 316 432Q341 418 354 401T367 348V332L318 133Q267 -67 264 -75Q246 -125 194 -164T75 -204Q25 -204 7 -183T-12 -137Q-12 -110 7 -91T53 -71Q70 -71 82 -81T95 -112Q95 -148 63 -167Q69 -168 77 -168Q111 -168 139 -140T182 -74L193 -32Q204 11 219 72T251 197T278 308T289 365Q289 372 288 376Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D70E" d="M184 -11Q116 -11 74 34T31 147Q31 247 104 333T274 430Q275 431 414 431H552Q553 430 555 429T559 427T562 425T565 422T567 420T569 416T570 412T571 407T572 401Q572 357 507 357Q500 357 490 357T476 358H416L421 348Q439 310 439 263Q439 153 359 71T184 -11ZM361 278Q361 358 276 358Q152 358 115 184Q114 180 114 178Q106 141 106 117Q106 67 131 47T188 26Q242 26 287 73Q316 103 334 153T356 233T361 278Z"></path><path id="MJX-6-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path><path id="MJX-6-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -1437.1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1437.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="6990.8 -1437.1 1 2374.1"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,487.1)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4C" xlink:href="#MJX-6-TEX-C-4C"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(723,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="42" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-42"></use><use data-c="50" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-50" transform="translate(708,0)"></use><use data-c="52" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-52" transform="translate(1389,0)"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2553.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="munder" transform="translate(3609.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(725.1,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-6-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-1147.3) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(961,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1239,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1584,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1862,0)"><use data-c="1D457" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D457"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2274,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2663,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3330,0)"><use data-c="1D442" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D442"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6670,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7614.7,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8448.7,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8615.3,0)"><use data-c="1D70E" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D70E"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(9353,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,16) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-5E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D456"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1901.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2901.9,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(300.6,16) translate(-250 0)"><use data-c="5E" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-5E"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D457" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D457"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4170.7,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1437.1 1 2374.1"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:6" transform="translate(0,1237.1)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-28"></use><use data-c="36" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-36" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(6)</mtext></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">L</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-auto-op="false">BPR</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo data-mjx-texclass="OP">∑</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>∈</mo><mi>O</mi></mrow></munder><mo>−</mo><mi>ln</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>σ</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>u</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n36" cid="n36" mdtype="math_block" data-math-tag-before="6" data-math-tag-after="7" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 29.212ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="2.565ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.717ex; min-width: 29.212ex;"><defs><path id="MJX-7-TEX-C-4C" d="M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 102Q281 102 369 79T509 52H523Q535 64 544 87T579 128Q616 152 641 152Q656 152 656 142Q656 101 588 40T433 -22Q381 -22 289 1T156 28L141 29L131 20Q111 0 87 -11Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-42" d="M131 622Q124 629 120 631T104 634T61 637H28V683H229H267H346Q423 683 459 678T531 651Q574 627 599 590T624 512Q624 461 583 419T476 360L466 357Q539 348 595 302T651 187Q651 119 600 67T469 3Q456 1 242 0H28V46H61Q103 47 112 49T131 61V622ZM511 513Q511 560 485 594T416 636Q415 636 403 636T371 636T333 637Q266 637 251 636T232 628Q229 624 229 499V374H312L396 375L406 377Q410 378 417 380T442 393T474 417T499 456T511 513ZM537 188Q537 239 509 282T430 336L329 337H229V200V116Q229 57 234 52Q240 47 334 47H383Q425 47 443 53Q486 67 511 104T537 188Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-50" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H214Q237 683 276 683T331 684Q419 684 471 671T567 616Q624 563 624 489Q624 421 573 372T451 307Q429 302 328 301H234V181Q234 62 237 58Q245 47 304 46H337V0H326Q305 3 182 3Q47 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM507 488Q507 514 506 528T500 564T483 597T450 620T397 635Q385 637 307 637H286Q237 637 234 628Q231 624 231 483V342H302H339Q390 342 423 349T481 382Q507 411 507 488Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 360 434 378T489 456Q491 467 491 499Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-I-1D706" d="M166 673Q166 685 183 694H202Q292 691 316 644Q322 629 373 486T474 207T524 67Q531 47 537 34T546 15T551 6T555 2T556 -2T550 -11H482Q457 3 450 18T399 152L354 277L340 262Q327 246 293 207T236 141Q211 112 174 69Q123 9 111 -1T83 -12Q47 -12 47 20Q47 37 61 52T199 187Q229 216 266 252T321 306L338 322Q338 323 288 462T234 612Q214 657 183 657Q166 657 166 673Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-398" d="M56 340Q56 423 86 494T164 610T270 680T388 705Q521 705 621 601T722 341Q722 260 693 191T617 75T510 4T388 -22T267 3T160 74T85 189T56 340ZM610 339Q610 428 590 495T535 598T463 651T384 668Q332 668 289 638T221 566Q168 485 168 339Q168 274 176 235Q189 158 228 105T324 28Q356 16 388 16Q415 16 442 24T501 54T555 111T594 205T610 339ZM223 263V422H263V388H514V422H554V263H514V297H263V263H223Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -817)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 817) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="4377.9 -817 1 1133.9"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-67)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4C" xlink:href="#MJX-7-TEX-C-4C"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(967.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2023.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="4C" xlink:href="#MJX-7-TEX-C-4C"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(723,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="42" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-42"></use><use data-c="50" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-50" transform="translate(708,0)"></use><use data-c="52" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-52" transform="translate(1389,0)"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4521.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5521.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D706" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D706"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(616,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6541.2,0)"><use data-c="2225" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7041.2,0)"><use data-c="398" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-398"></use></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(7819.2,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2225" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,-247) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -817 1 1133.9"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:7" transform="translate(0,683)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-28"></use><use data-c="37" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-37" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(7)</mtext></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">L</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-variant="-tex-calligraphic" mathvariant="script">L</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-auto-op="false">BPR</mi></mrow></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>λ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="ORD">∥</mo><mi mathvariant="normal">Θ</mi><msubsup><mo data-mjx-texclass="ORD">∥</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msubsup></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>优化过程如公式6，7所示，我们采用常用的BPR loss，负样本的选取我们随机从用户没有购买过的菜品中选取，比例为1：1。并添加</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.528ex" height="1.885ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1117.6 833" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.339ex;"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D43F" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 336Q297 271 279 198T252 88L243 52Q243 48 252 48T311 46H328Q360 46 379 47T428 54T478 72T522 106T564 161Q580 191 594 228T611 270Q616 273 628 273H641Q647 264 647 262T627 203T583 83T557 9Q555 4 553 3T537 0T494 -1Q483 -1 418 -1T294 0H116Q32 0 32 10Q32 17 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43F" xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D43F"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(714,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">L_2</script><span>正则化项。</span>
<span>训练完成后，我们对召回菜品的打分进行排序，得到了对每个用户推荐的50个菜品。我们提交结果获得了0.103的HR@5的结果。相比于Top-1的0.17还有较大差距。我们认为我们仅仅考虑了用户购买菜品的协同信号和菜品的共同购买和菜品的商家属性是远远不够的。赛题给出的数据中包含着丰富的上下文与属性信息。例如用户购买菜品发生在上午下午这种时间特征，用户购买菜品所属的收餐蜂窝id特征，用户的历史单均价，菜品的价格等。</span></p><p><span>FM是经典的推荐算法，我们实验了它的效果以及它的变种算法FFM。结果表明FFM效果明显好于FM，这可能是因为FFM模型在FM模型的基础上引入了特征域的概念，在做特征交叉时，每个特征选择与其他域对应的隐向量做内积运算。</span></p><p><span>FFM模型的实现我们采用了流行的机器学习框架xLearn</span><a href='#refer-anchor-2'><sup><span>2</span></sup></a><span>，xLearn 是一款高性能的，易用的，并且可扩展的机器学习算法库。</span></p><p><span>FFM模型的输入特征包括用户id，菜品id，购买时间段（上午，下午等），购买时的aor，菜品属于的商家id，用户的历史购买价格区间类别，菜品价格的划分的区间类别。除菜品价格外，其他特征均是类别特征，我们进行了统一编码后没有进行其他处理。对于菜品的价格，我们进行了分桶处理将它转换成类别特征。最终的分桶数为7。训练时的负样本构造我们随机选取用户没有购买过的菜品，与正样本的比例为1：1。我们固定训练轮数为100，不设验证集。模型训练好后，针对GNN模型给用户推荐的50个菜品进行打分重新排序得到最终的输出。</span></p><p><span>另外我们采用了CatBoost算法对GNN模型推荐的50个菜品进行调整排序。CatBoost</span><a href='#refer-anchor-3'><sup><span>3</span></sup></a><span>是一个常用的开源Boosting算法，与XGBoost和LightGBM类似。CatBoost是一种基于对称决策树算法的参数少、支持类别型变量和高准确性的GBDT框架，主要解决的问题是高效合理地处理类别型特征，同时处理梯度偏差以及预测偏移问题，提高算法的准确性和泛化能力。</span></p><p><span>CatBoost模型的输入特征包括用户id,菜品id，购买时间段，购买时的aor，购买时的时间。其中对于购买时的时间，原始数据是日期的形式，我们按照时间先后处理为0，1，2…… 其他特征进行简单的类型编码。 负样本从用户未购买过的菜品中选取，比例为1：1。我们固定训练轮数为1000，不设验证集。模型训练好后，对GNN模型给每个用户推荐的50个菜品进行打分重新排序得到最终的输出。</span></p><p><span>但是无论是经过FFM还是CatBoost的调整后的推荐结果，提交之后都没有获得超过GNN模型的HR@5效果。</span></p><p><span>我们团队分析虽然单个模型的效果GNN最好，但是由于FFM，CatBoost模型学习的特征与GNN模型有不同，而且FFM，CatBoost模型的学习策略与GNN明显不同。GNN模型是基于协同过滤的方法，而FFM，CatBoost是基于点击率预估的方法。所以，FFM，CatBoost的结果一定反映了与GNN模型推荐不同的信息。现在的关键是如何融合三个模型各自的特点优势，提升效果。</span></p><h3 id='融合阶段'><span>融合阶段</span></h3><p><span>通过调研，我们采用了简单的平均集成策略，这个策略是一种Bagging集成策略。由于在GNN模型中主要使用的是用户菜品的协同信息和菜品的共现信息，CatBoost中考虑了订单的购买时间信息，FFM考虑了用户和菜品的价格信息。可以看出三种模型使用的特征有所不同，从而对于集成来说各个模型有一定的独立性。</span></p><p><span>另外，虽然GNN，CatBoost，FFM三个模型都有各自的输出评分，但是我们考虑到它们的数值范围和意义不同，没有采用直接相加取平均的策略。而是首先按照分数由低到高分别对三个模型的输出进行排序，根据排序我们重新计算每个菜品的一个排序得分s。</span></p><div contenteditable="false" spellcheck="false" class="mathjax-block md-end-block md-math-block md-rawblock" id="mathjax-n48" cid="n48" mdtype="math_block" data-math-tag-before="7" data-math-tag-after="8" data-math-labels="[]"><div class="md-rawblock-container md-math-container" tabindex="-1"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" width="full" style="min-width: 20.636ex; position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="100%" height="4.774ex" role="img" focusable="false" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.821ex; min-width: 20.636ex;"><defs><path id="MJX-8-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-38" d="M70 417T70 494T124 618T248 666Q319 666 374 624T429 515Q429 485 418 459T392 417T361 389T335 371T324 363L338 354Q352 344 366 334T382 323Q457 264 457 174Q457 95 399 37T249 -22Q159 -22 101 29T43 155Q43 263 172 335L154 348Q133 361 127 368Q70 417 70 494ZM286 386L292 390Q298 394 301 396T311 403T323 413T334 425T345 438T355 454T364 471T369 491T371 513Q371 556 342 586T275 624Q268 625 242 625Q201 625 165 599T128 534Q128 511 141 492T167 463T217 431Q224 426 228 424L286 386ZM250 21Q308 21 350 55T392 137Q392 154 387 169T375 194T353 216T330 234T301 253T274 270Q260 279 244 289T218 306L210 311Q204 311 181 294T133 239T107 157Q107 98 150 60T250 21Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(0.020249,-0.020249) translate(0, -1305)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable" transform="translate(2078,0) translate(-2078,0)"><g transform="translate(0 1305) matrix(1 0 0 -1 0 0) scale(49.39)"><svg data-table="true" preserveAspectRatio="xMidYMid" viewBox="2482.5 -1305 1 2110"><g transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mlabeledtr" transform="translate(0,-37)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(746.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1802.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(494.5,676)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(673.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1673.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-686)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-35"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1222.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2222.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g></g><rect width="2922.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></svg><svg data-labels="true" preserveAspectRatio="xMaxYMid" viewBox="1278 -1305 1 2110"><g data-labels="true" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="mtd" id="mjx-eqn:8" transform="translate(0,713)"><text data-id-align="true"></text><g data-idbox="true" transform="translate(0,-750)"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-28"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-38" transform="translate(389,0)"></use><use data-c="29" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-29" transform="translate(889,0)"></use></g></g></g></g></svg></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true"><mlabeledtr><mtd><mtext>(8)</mtext></mtd><mtd><mi>s</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>50</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mtd></mlabeledtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></div></div><p><span>其中r代表菜品的排序号，由于精排的菜品数是50，所以，r的范围是[1，50]。例如菜品a排在第一位，那么它的s=0；菜品b排在第50位，s=1。</span></p><p><span>得到每个菜品在三个模型中的排序得分后，进行加权平均得到最终的集成得分。我们通过实验确定的三个模型的权值分别是</span><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" style="position: relative;"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="36.178ex" height="2.149ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 15990.7 950" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.452ex;"><defs><path id="MJX-30-TEX-I-1D464" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-30-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path><path id="MJX-30-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43A" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D43A"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(786,0)"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D441"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1674,0)"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D441"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2888.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3944.2,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-30"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="39" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-39" transform="translate(778,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5222.2,0)"><text data-variant="italic" transform="scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif" font-style="italic">，</text></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6112.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(749,0)"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1498,0)"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D440"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8991.5,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10047.3,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-30"></use><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-2E" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="39" xlink:href="#MJX-30-TEX-N-39" transform="translate(778,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11325.3,0)"><text data-variant="italic" transform="scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="serif" font-style="italic">，</text></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(12215.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D464" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D464"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(749,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(760,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1289,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1650,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2409,0)"><use data-c="1D45C" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D45C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2894,0)"><use data-c="1D45C" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D45C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3379,0)"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3848,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-30-TEX-I-1D461"></use></g></g></g></g></g></svg><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>G</mi><mi>N</mi><mi>N</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.9</mn><mi>，</mi><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>F</mi><mi>F</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.9</mn><mi>，</mi><msub><mi>w</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>C</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>B</mi><mi>o</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>t</mi></mrow></msub></math></mjx-assistive-mml></mjx-container><script type="math/tex">w_{GNN}=0.9，w_{FFM}=0.9，w_{CatBoost}</script><span>。经过集成调参后，我们获得了20%左右的效果提升，达到了0.120左右的HR@5的效果。</span></p><h3 id='过滤补充层'><span>过滤补充层</span></h3><p><span>最后我们设计了过滤补充层，这一想法来源于下面的一种直觉思考：如果要预测的订单发生在中午，日常生活中中午吃正餐的概率很大，但是我们的模型如果推给用户一份油条豆腐脑，这个明显是早餐的选择。那么我们的HR@5效果就会受到影响。</span></p><p><span>基于上面的思考，我们统计了集成后推荐结果中没有在订单时间购买过的菜品，将它们删除，然后后面排序的菜品递补。在实现上这里我们采用了一个技巧，例如对于菜品的购买时间段，有中午，上午等五类，我们对于每个菜品定义一个长度为5的数组，初始化为0。在训练集中统计这种菜品购买的时间段，对应的数组位置加一。最后得到在各个时间段上总的购买次数，之后进行归一化生成一种概率表示。在使用这个数组过滤推荐列表中的菜品时，我们就可以设置[0，1)的一个阈值，从而灵活的选择过滤的数量。</span></p><p><span>我们将这个策略应用到不同的特征，例如用户收餐蜂窝id，收餐地址aoi类型。</span></p><p><span>经过实验，这样的过滤补充后，效果有所提升，HR@5到达0.123左右。</span></p><p><span>上面的实现简单并且符合我们的直觉，而且相比于通过调整模型参数获得提升更加确定。受到这种思路的启发，我们顺着这个思路继续想下去。我们设想下面一种直觉：一种菜品例如可乐，它很少单独成为一个订单，而是作为一种搭配菜与其他的菜品进行凑单。因为我们可以得到预测的菜单中包含多少菜品，那么对于一个菜单只有一个菜品的情况，这时如果推荐可乐那么命中的概率将会受到影响。</span></p><p><span>按照上面的思路，我们统计了训练集中每种菜品被购买时订单中包含的菜品数量，对于推荐列表中的一个菜品，我们对比这次订单包含的菜品个数n与菜品历史被购买菜单包含的菜品个数的最小值m。如果m&gt;n，那么这个菜品将被过滤掉，递补其他菜品。</span></p><p><span>经过上面的召回，排序，融合，过滤补充阶段后，我们获得了最好的HR@5结果0.133。</span></p><h2 id='试验结果'><span>试验结果</span></h2><figure><table><thead><tr><th><span>Model</span></th><th><span>HR@5</span></th></tr></thead><tbody><tr><td><span>GNN</span></td><td><span>0.10</span></td></tr><tr><td><span>FFM</span></td><td><span>0.083</span></td></tr><tr><td><span>Catboost</span></td><td><span>0.097</span></td></tr><tr><td><span>Ensemble</span></td><td><span>0.120</span></td></tr><tr><td><span>Final</span></td><td><span>0.133</span></td></tr><tr><td>&nbsp;</td><td>&nbsp;</td></tr></tbody></table></figure><p><span>上表展示了整个流程中各个模块输出的效果对比。从中可以得到下面一些观察：</span></p><ul><li><p><span>GNN的效果相比FFM，CatBoost的效果要好一些，说明GNN较好的捕捉了用户菜品之间的协同信息。</span></p></li><li><p><span>集成（Ensemble）后的效果相比三个模型单独的效果提升了20%左右，说明这种简单的平均集成策略也有不错的效果。另一方面也说明GNN，FFM，CatBoost的结果具有一定的独立性，集成后降低了模型的方差，提高了模型的泛化能力。</span></p></li><li><p><span>加入过滤补充层后（Final）的结果相比集成（Ensemble）的结果提升了10%左右，原因可能是由于目前的方案没有进行细致的特征工程，导致引入噪声，影响了前面模型的效果。通过过滤补充策略比较简单有效的弥补了这个缺点。</span></p></li></ul><h2 id='技术关键点'><span>技术关键点</span></h2><p><span>综合上面所述的方案和结果，本方案的关键技术点总结如下：</span></p><ul><li><p><span>精简后的GNN模型利用简单的知识图谱快速的从几万的菜品中生成大小为50的推荐列表。这里的关键是去掉了原始论文中对意图的复杂建模，提高了运行的效率，有利于快速验证效果。</span></p></li><li><p><span>构建利用上下文信息的FFM和CatBoost模型，由于GNN模型没有捕捉用户购买时的上下文信息，例如时间，地点等。FFM，CatBoost在这方面做了很好的补充。结合后面的平均集成策略，实现了效果的较大提升。</span></p></li><li><p><span>设置最后的过滤补充层，对模型推荐的菜品进行最后的调整。实验表明这种简单的过滤补充对于效果的提升也很明显。</span></p></li></ul><h2 id='存在问题及改进方向'><span>存在问题及改进方向</span></h2><p><span>得益于整个流程的搭建和精细的调参，我们的方案得到了现在的效果。但是我们的方案仍然是粗糙的，并有很多改进的方向。我们简单的总结如下：</span></p><ul><li><p><span>对于特征的分析和构建不足。整个方案我们的特征工程做的较少，这一方面是受制于我们的经验，另一方面是我们的策略考量，我们的策略是先搭建流程。作为一个改进方向，可以进一步构造GNN模型使用的知识图谱特征。构造更多特征从而更好的发挥FFM的特征交叉能力和CatBoost的特征选择能力。</span></p></li><li><p><span>GNN模型的使用过于简单，没有根据具体的应用场景进行一些定制化。例如其实我们一直想做建模用户菜品的复购率这个特征，但是实验没有成功，这个也是改进的一个方向。</span></p></li><li><p><span>召回层的设计过于粗糙，本方案中采用了单一的流行度召回策略，没有考虑多路召回。这样对于一些冷启动的用户和物品的推荐效果不好。引入多路召回也是一个重点改进的方向。</span></p></li></ul><h1 id='参考'><span>参考</span></h1><div id="refer-anchor-1"></div><p><span>[1] </span><a href='https://arxiv.org/pdf/2102.07057v1.pdf'><span>Learning Intents behind Interactions with Knowledge Graph for Recommendation</span></a></p><div id="refer-anchor-2"></div><p><span>[2] </span><a href='https://xlearn-doc-cn.readthedocs.io/en/latest/'><span>xLearn</span></a></p><div id="refer-anchor-3"></div><p><span>[3] </span><a href='https://catboost.ai/'><span>CatBoost</span></a></p></div></div>

<script>(function (){var t=document.body.parentElement,e=[],n=null,i=document.body.classList.contains("typora-export-collapse-outline"),r=function(t,e,n){document.addEventListener(t,function(t){if(!t.defaultPrevented)for(var i=t.target;i&&i!=this;i=i.parentNode)if(i.matches(e)){!1===n.call(i,t)&&(t.preventDefault(),t.stopPropagation());break}},!1)};function o(){return t.scrollTop}r("click",".outline-expander",function(t){var e=this.closest(".outline-item-wrapper").classList;return e.contains("outline-item-open")?e.remove("outline-item-open"):e.add("outline-item-open"),c(),!1}),r("click",".outline-item",function(t){var e=this.querySelector(".outline-label");if(location.hash="#"+e.getAttribute("href"),i){var n=this.closest(".outline-item-wrapper").classList;n.contains("outline-item-open")||n.add("outline-item-open"),l(),n.add("outline-item-active")}});var a,s,u=function(){var t=o();n=null;for(var i=0;i<e.length&&e[i][1]-t<60;i++)n=e[i]},l=function(){document.querySelectorAll(".outline-item-active").forEach(t=>t.classList.remove("outline-item-active")),document.querySelectorAll(".outline-item-single.outline-item-open").forEach(t=>t.classList.remove("outline-item-open"))},c=function(){if(n){l();var t=document.querySelector('.outline-label[href="#'+(CSS.escape?CSS.escape(n[0]):n[0])+'"]');if(t)if(i){var e=t.closest(".outline-item-open>ul>.outline-item-wrapper");if(e)e.classList.add("outline-item-active");else{for(var r=(t=t.closest(".outline-item-wrapper")).parentElement.closest(".outline-item-wrapper");r;)r=(t=r).parentElement.closest(".outline-item-wrapper");t.classList.add("outline-item-active")}}else t.closest(".outline-item-wrapper").classList.add("outline-item-active")}};window.addEventListener("scroll",function(t){a&&clearTimeout(a),a=setTimeout(function(){u(),c()},300)});var f=function(){s=setTimeout(function(){!function(){e=[];var t=o();document.querySelector("#write").querySelectorAll("h1, h2, h3, h4, h5, h6").forEach(n=>{var i=n.getAttribute("id");e.push([i,t+n.getBoundingClientRect().y])})}(),u(),c()},300)};window.addEventListener("resize",function(t){s&&clearTimeout(s),f()}),f()})();</script></body>
</html>